The Gauss-Manin connection on the Hodge structures

Details The Gauss-Manin connection on the Hodge structures The Gauss-Manin connection on the Hodge structures

2001-01-17

arxiv.org/abs/math/0101143v2

CRAS 333 (2001), no. 4, 333--337

Mathematics

Algebraic Geometry

Scientific paper

10.1016/S0764-4442(01)02064-X

Pour tout sch\'ema simplicial complexe $X_{\bullet}$ il existe une application canonique $\nabla:H^{\ast}(X_{\bullet})\longrightarrow \Omega^1_{{\mathbb C}/{\mathbb Q}}\otimes H^{\ast}(X_{\bullet})$, appel\'ee la connexion de Gau\ss-Manin. Nous montrons qu'il existe une unique connexion fonctorielle sur toute structure de Hodge-Tate mixte ayant certaines propri\'et\'es de la connexion de Gau\ss-Manin. Cette connexion n'est pas int\'egrable en g\'en\'eral, et alors son int\'egrabilit\'e est une condition non triviale pour qu'une structure de Hodge soit g\'eom\'etrique. Dans des cas particuliers, je donne des formules explicites pour la connexion de Gau\ss-Manin sur la cohomologie singuli\`ere des vari\'et\'es alg\'ebriques sur ${\mathbb C}$ dans les termes de la structure de Hodge.

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